PT3 2016 : Persamaan Linear Serentak (Kaedah Penghapusan)

Contoh : ,

• 

• Penyelesaian
  • dan adalah nombor.
  • Persamaan yang diberikan menunjukkan
    •  : dua nombor ini bila ditambah akan berikan 5
    •  : dua nombor ini bila ditolak akan berikan 1
    • Apakah dua nombor ini?
  • Kita boleh cuba 4 dan 1 (jumlahnya 5), tapi bila ditolak akan bagi 3, bukannya 1
  • Kita cuba lagi 3 dan 2 (jumlahnya 5), dan 3 tolak 2 sememangnya 1
  • Jadi, jawapannya adalah ialah 3 dan ialah 2
    • Cara tulis jawapan adalah
      • 
  • Kita tahu jawapan ini sememangnya betul kerana
    • 
    • Jawapan memenuhi KEDUA-DUA persamaan
  • Perhatikan jawapan
    • mesti mengandungi kedua-dua pembolehubah
    • disemak dengan menggantikan ke dalam KEDUA-DUA persamaan

Mari kita cari kaedah yang boleh digunakan untuk selesaikan tanpa perlu kita buat cuba-cuba

• 
• • Masalah utama ialah kedua-dua persamaan linear mempunyai 2 pembolehubah. Kalau hanya satu pembolehubah, kita boleh selesaikan dengan senang.
  • Maka, kita perlu menghapuskan salah satu pembolehubah
  • Perhatikan
    • 
    • Di atas dan bawah mempunyai yang sama, yang boleh kita hapuskan (jadikan kosong) dengan menolaknya.
  • Tapi bolehkah kita menolak satu sebutan di atas dengan bawah?
    • Ya, tapi kita juga mesti tolak semua sebutan yang lain atas dan bawah, termasuk nombor di sebelah kanan.
      • 
      • Kenapakah ianya begitu?
        • Sebenarnya yang patut ditolak adalah kedua-dua BELAH equation
          • 
        • Lepas ditolak akan jadi
          • 
        • tapi boleh disusun semula sebagai
          • 
        • Iaitu hasil yang sama berbanding jika kita tolak terus. Jadi lebih cepat kita tolak secara terus.
    • Dalam erti kata lain, kita akan menolak seluruh persamaan atas dengan yang bawah.
  • Sebelum itu, kita perlu tunjukkan dengan jelas bahawa kita hendak menolak dua persamaan ini. Jadi perlu kita label dua persamaan ini dulu. Cara paling senang ialah dengan menggunakan nombor
    • 
      • Perhatikan kita bulatkan "nombor" yang hanya merupakan LABEL dan nombor-nombor ini tidak mempunyai apa-apa maksud lain.
  • Kita akan menolak persamaan atas dengan yang di bawah. Jadi kita tulis dulu apa yang sedang dibuat
    • 
      • Perhatikan
        • menunjukkan persamaan tolak persamaan , dan bukannya .
        • Tanda digunakan, bukan tanda
  • Kita sudah lihat tujuan kita menolak adalah untuk menghapuskan
    • 
    • di atas akan ditolak dengan di bawah akan jadi kosong (kita boleh tulis di bawah atau biarkan sahaja tempat itu kosong)
  • Sebutan y akan ditolak atas dengan bawah :
    • 
    • Ini kerana
      • 
      • Iaitu (bolehlah kita buat pengiraan ini di tepi)
  • Nombor akan tolak atas dengan bawah
    • 
    • Perhatikan hasil tolak dua persamaan adalah juga satu persamaan (jangan lupa tulis tanda )
  • Jika takut buat kesilapan dalam pengiraan
    • Boleh kita letakkan tanda tolak di antara setiap sebutan
      • 
    • Boleh kita bulatkan sebutan bersama tanda di depan supaya tidak lupa tengok tanda
      • 
    • Boleh juga lukis garis di atas dan bawah hasil tolak/tambah seperti penambahan/penolakan biasa
      • 
    • Kita boleh juga menulis sebutan yang ditolak/ditambah kemudian baru kira di langkah seterusnya
      • 
    • Apapun, seperti persamaan linear biasa, kita mesti SEMAK JAWAPAN AKHIR kerana apa-apa kesilapan akan dapat dikesan. Jadi, adalah digalakkan membuat pengiraan terus (tapi dengan berhati-hati) kerana lebih cepat dan teratur, dengan syarat mesti semak jawapan di akhir.
  • Perhatikan
    • 
    • Hanya tinggal 1 pembolehubah di persamaan yang terhasil, jadi bolehlah kita selesaikan
  • • atau terus
  • Kita sudah selesaikan untuk (satu pembolehubah), tapi ingat, kita perlu selesaikan untuk kedua-dua pembolehubah, dalam kes ini kita perlu cari
    • Perhatikan
      • 
      • Persamaan asal tidak dapat diselesaikan pada mulanya sebab mengandungi dua pembolehubah yang tidak diketahui nilainya. Oleh kerana kita sudah tahu nilai salah satu-nya sekarang, kita boleh cari nilai yang satu lagi dengan gantikan nilai yang sudah didapati ke dalam persamaan.
      • Dalam kes ini,
        • asalnya tidak dapat diselesaikan kerana kedua-duanya tidak diketahui.
        • Tapi sekarang kita tahu sudah
          • Jadi
          • Akan menjadi , yang boleh kita selesaikan dengan cara biasa.
        • Kita juga boleh guna persaman yang kedua.
    • Kita boleh tunjukkan bahawa kita ganti dengan beberapa cara
      • 
      • Lebih ringkas lagi, kita boleh labelkan sebagai satu lagi persamaan dan kemudian diganti (guna simbol )
        • 
  • Selesaikan
    • atau terus
  • Perhatikan kita sudah ada jawapan untuk kedua-dua pembolehubah
    • 
    • Tapi lebih baik kita tulis semula jawapan sebagai satu pasang di bawah
    • • 
  • Siap? SEMAK dengan ganti ke dalam kedua-dua persamaan asal
    • Betul.
    • Betul.

Cuba

• 

• 
  • Sama seperti
  • Atau letakkan 1
    • 
      • 

• 

• 
  • Bukannya . akan jadi

• 
  • Perhatikan oleh kerana tidak akan mengubah tanda, kita boleh kira dengan cepat dengan tidak lihat tanda itu
    • Iaitu lihat soalan sebagai dan terus jawab tanpa perlu menulis satu langkah lagi

• 
  • Terus lihat soalan sebagai

• 
  • Boleh guna cara buka kurungan ataupun lihat sebagai (benda sama - benda sama = 0)

• 
  • boleh dilihat sebagai sahaja (tanda posif di depan tidak akan ubah apa-apa)

• 
  • 

• 
  • 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

Tulis hasil tambah / tolak persamaan

Tuliskan hasil tambah/ hasil tolak kedua-dua persamaan. Cuba buat dengan hanya menulis satu baris. Lepas itu, semak semula SEBELUM banding dengan jawapan.

• a)
  • Dapat?
    • • 
    • • 
        • terhapus
    • • 

• b)
  • 
    • Jika rasa terlalu susah, dicadangkan buat pengiraan di tepi / guna kalkulator jika dibenarkan pengunaannya
      • 

• c)
  • 
    • Perhatikan kita tambah disini. Rasanya kenapa kita tambah dan bukannya tolak? Hanya dengan tambah kita boleh hapuskan salah satu pembolehubah () dalam kes ini.

• d)
  • 

• e)
  • 

Jadikan sifar dengan meletakkan + atau -

• 

• 

• 
  • Perhatikan sememangnya sudah akan jadi kosong, jadi kita letak tanda yang tidak akan ubah apa-apa, iaitu +

• 
  • Cara paling senang untuk lihat ialah adalah sama, jadi bila ditolak akan jadi kosong.

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

Pilih operasi yang perlu dilakukan untuk menghapuskan salah satu pembolehubah

• 
• Ingat bahawa tujuan kita menambah atau menolak persamaan adalah untuk menghapuskan salah satu pembolehubah. Jadi kita perlu analisis soalan dulu sebelum tentukan samaada kita tambah atau tolak.
  • Bandingkan pembolehubah
    • 
      • : adalah sama atas dan bawah. Boleh dihapuskan dengan menolak atas dengan bawah
      • : pekali tidak sama atas dengan bawah. Tidak boleh hapuskan dengan tambah ataupun tolak.
  • Jadi, jelas bahawa operasi yang perlu dibuat ialah

• 
• • Jawapan :
  • Bandingkan pembolehubah. Yang boleh dihapuskan ialah .
    • 
      • dihapuskan dengan tambah.
        • Ingat, yang perlu ditambah/ditolak bukan sekadar sahaja tetapi dengan .

• 
• 
  • • 
      • 

• 
• 
  • Hapuskan
    • 
    • dengan tambah

• 
• 
  • Hapuskan
    • 
    • dengan tolak

Selesaikan persamaan serentak berikut

• dan
• • Susun semula persamaan dengan baik (pastikan setiap sebutan di "tempat" yang sama atas dan bawah) dan labelkan dulu persamaan
    • 
  • Kita perlu hapuskan salah satu pembolehubah dulu
    • Yang manakah boleh dihapuskan?
      • 
      • Kedua-dua pun boleh dalam kes ini.
  • Jika memilih untuk hapuskan , operasi yang diperlukan adalah tolak
    • 
  • Jalankan operasi.
    • Perhatikan walaupun kita telah memilih operasi untuk menghapuskan , kita masih patut melakukan operasi atas dan menyemak bahawa ianya sememangnya terhapus. Ini dapat mengesahkan kita telah memilih operasi yang betul.
      • 
      • Memang terhapus
    • Buat untuk
      • 
    • Buat untuk nombor
      • 
  • Sebelum teruskan, lebih baik guna beberapa saat lagi untuk menyemak bahawa kita telah membuat operasi dengan betul (terutamanya jika nampak jawapan akan menjadi pecahan)
  • Selesaikan persamaan yang terhasil
    • 
    • atau terus
    • 
  • Ganti yang didapati bailk ke dalam salah satu persamaan atas (pilih yang nampaknya lebih senang dikira) dan selesaikan
    • 
    • atau
    • 
  • Selesaikan
    • 
  • Tulis jawapan akhir
    • 
  • Siap? Semak
    • Betul
    • Betul

• 
• • Langkah 1 : Susun (jika perlu) dan label
    • 
  • Langkah 2 : Pilih pembolehubah yang boleh dihapuskan dan operasi untuk menghapuskannya
    • 
    • • 
  • Langkah 3 : Lakukan operasi berhati-hati untuk setiap pembolehubah dan juga nombor di sebelah kanan
    • • 
    • • 
    • • 
  • Langkah 4 : Selesaikan satu pembolehubah
    • 
  • Langkah 5 : Ganti dalam salah satu persamaan asal dan selesaikan
    • 
  • Langkah 6 : Tulis semula jawapan dan semak
    • 
    • Semak
      • Betul
      • Betul

• 
• • Jawapan :
  • • 
  • • 
  • • 
  • • 
  • • 
    • Semak
      • 
      • 

• 
• • Jawapan :
  • Hapuskan
    • 
    • dengan tolak
  • 
  • 
  • 
  • 
  • 
  • 
  • Semak
    • 
    • 

• 
• • Jawapan :
  • • 
    • Semak
      • 
      • 

Selesaikan persamaan serentak berikut

• a)
  • Jwp :
  • Peny :
    • 
    • 
    • 
    • Semak :
      • 

• b)
  • Jwp :
  • Peny :
    • 
    • 
    • 
    • Semak :
      • 

• c)
  • Jwp :
  • Peny :
    • 
    • 
    • 
    • Semak :
      • 

• d)
  • Ans :
  • Peny :
    • 
    • 
    • 
    • Semak :
      • 

• e)
  • Jwp :
  • Peny :
    • 
    • 
    • 
    • Semak :
      • 

• f)
  • Jwp :
  • Peny :
    • 
    • 
    • 
    • Semak :
      • 

• g)
  • Jwp :
  • Peny :
    • 
    • 
    • 
    • Semak :
      • 

• h)
  • Jwp :
  • Peny :
    • 
    • 
    • 
    • Semak :
      •